算数に強くなる!水道方式【水道方式とは何か】

算数を理解するための最善の方法

÷2位数[商1位数](型分け)

÷2位数は、÷1位数よりずっと難しくなります。これまでの複合過程の計算問題は、素過程に分解できますが、÷2位数の計算は、÷2位数の複合となるからです。
水道方式での計算指導は、あくまで除法の素過程の複合とみなして計算を進めるため、仮商を立て、修正を繰り返すという厄介な操作が必要になります。
これから説明するこれ以外の計算方法では、仮商を修正する際に、「減らす」「増やす」の両面で考えなくてはなりませんが、水道方式の考え方は、減らす一方で済みます。

÷2位数のアルゴリズム

計算手続き
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.3em}135 \\ \cline{2-3} \kern1em66& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}8974 \\ \ &\ &\hspace{-2em}66 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-1.35em}237 \\ \ &\ &\hspace{-1.35em}198 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.2em}394 \\ \ &\ &\hspace{-0.2em}330 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{0.2em}64 \\ \end{array} 最初に商の立つ位置を決めます。
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em66& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}8974 \\ \end{array} :被除数の上位の数から、1桁ずつ検討していきます。

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-1em}\downarrow \\ \cline{2-3} \kern1em66& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}8 \\ \end{array}(だめ) ⇒  \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.2em}\downarrow \\ \cline{2-3} \kern1em66& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}89 \\ \end{array}(OK!)

  1.  \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em66& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}89 \\ \end{array} \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em6\square& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}8\square \\ \end{array}
    89÷66の計算は、素過程の形になっていないので、除数66の上1桁のみ残し、残りの桁には目隠し(実際には指や鉛筆で隠す)をする。被除数の89は、末位の9のみ(指や鉛筆で)隠し、 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em6& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}8 \\ \end{array}(素過程の除法)とみなして計算する。

  2.  \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em66& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}237 \\ \end{array} \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em6\square& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}23\square \\ \end{array}
    237÷66も、素過程の形になっていないので、除数66の上1桁のみ残し、残りの桁には目隠し(実際には指や鉛筆で隠す)をする。被除数の237は、末位の7のみ(指や鉛筆で)隠し、 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em6& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}23 \\ \end{array}とみなして計算する。

  3.  \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em66& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}394 \\ \end{array} \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em6\square& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}39\square \\ \end{array}
    同様に、除数66の上1桁のみ残し、残りの桁には目隠し(実際には指や鉛筆で隠す)をする。被除数の394は、末位の4のみ(指や鉛筆で)隠し、 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em6& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}39 \\ \end{array}とみなして計算する。


2位数÷2位数(型分け)


問題
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.3em}3 \\ \cline{2-3} \kern1em24& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}76 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}72 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.7em}4 \\ \end{array}
(仮商修正0回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em27& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}56 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em43& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}97 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em67& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}82 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.3em}2 \\ \cline{2-3} \kern1em32& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}93 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}64 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.95em}29 \\ \end{array}
(仮商修正1回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em29& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}87 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em32& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}62 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em36& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}70 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.3em}2 \\ \cline{2-3} \kern1em29& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}86 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}58 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.95em}28 \\ \end{array}
(仮商修正2回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em27& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}80 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em28& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}82 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em13& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}91 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.3em}6 \\ \cline{2-3} \kern1em15& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}95 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}90 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.7em}5 \\ \end{array}
(仮商修正3回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em17& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}85 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em16& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}80 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em17& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}86 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.3em}4 \\ \cline{2-3} \kern1em17& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}84 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}68 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.95em}16 \\ \end{array}
(仮商修正4回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em16& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}95 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em19& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}98 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em17& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}81 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{-0.3em}4 \\ \cline{2-3} \kern1em19& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}92 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}76 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.95em}16 \\ \end{array}
(仮商修正5回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em19& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}91 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em19& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}93 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em19& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}90 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em19& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}94 \\ \end{array}
(2位数÷2位数の修正5回はこの5題のみ)


3位数÷2位数(型分け)


問題
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}4 \\ \cline{2-3} \kern1em31& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}124 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}124 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{0.1em}0 \\ \end{array}
(仮商修正0回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em21& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}105 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em14& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}123 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em51& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}102 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}5 \\ \cline{2-3} \kern1em32& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}190 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}160 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.5em}30 \\ \end{array}
(仮商修正1回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em58& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}359 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em69& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}490 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em79& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}632 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}7 \\ \cline{2-3} \kern1em34& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}261 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}238 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.5em}33 \\ \end{array}
(仮商修正2回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em38& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}247 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em79& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}631 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em46& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}365 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}6 \\ \cline{2-3} \kern1em39& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}272 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}234 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.5em}38 \\ \end{array}
(仮商修正3回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em26& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}181 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em39& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}270 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em28& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}190 \\ \end{array}

仮商を9よりたてていくもの
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}9 \\ \cline{2-3} \kern1em47& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}426 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}423 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{0.1em}3 \\ \end{array}
(仮商修正0回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em36& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}346 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em21& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}208 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em89& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}801 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}8 \\ \cline{2-3} \kern1em89& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}800 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}712 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.5em}88 \\ \end{array}
(仮商修正1回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em36& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}346 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em21& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}208 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em89& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}801 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}7 \\ \cline{2-3} \kern1em38& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}300 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}266 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.5em}34 \\ \end{array}
(仮商修正2回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em15& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}114 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em14& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}110 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em13& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}100 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}6 \\ \cline{2-3} \kern1em29& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}200 \\ \ &\ &\hspace{-0.95em}174 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.5em}26 \\ \end{array}
(仮商修正3回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em16& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}110 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em17& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}102 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em15& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}100 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \ &\ &\hspace{0.1em}5 \\ \cline{2-3} \kern1em17& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}100 \\ \ &\ &\hspace{-0.5em}85 \\ \cline{2-3} \ &\ &\hspace{-0.5em}15 \\ \end{array}
(仮商修正4回)
 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em18& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}105 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em18& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}102 \\ \end{array}

 \setstretch{0.8} \begin{array}{rcc} \cline{2-3} \kern1em19& \kern-0.6em {\big)} \kern0.1em & \hspace{-1em}113 \\ \end{array}


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